Soit la fonction f(x)= -x+$\ \sqrt{x²+1}$    si   x≥0  et   f(x)= $\ \frac{4}{π}  arctan(-x+\sqrt{x²+1})$   si   x≤0
Et la suite Uo=1  (quelque soit n un entier naturel) Un+1=f(Un)

1/  Montrer que Un est convergente et calculer sa limite.

2/ Montrer que f($\ \frac{1}{tanx}$)=tan($\  \frac{x}{2}$) pour tout x de ]0,π/2[

3/ On pose pour tout x de N : an= $\ \frac{2^{n+1} + (-1)^n}{ 3}$


a/ Montrer que : (quelque soit n£N) $\ a_{n+1}= 2^{n+1} -a_n$   et que $\ a_0$=1

b/ Montrer que Un= tan [$\ \frac{π. a_n}{2^{n+2}}$]

($\ u_n$) est une suite tel que ($\ u_{2n}$) tend vers a et ($\ u_{2n+1}$) tend vers b.
Montrer que $\ { s }_{ n }=\frac { 1 }{ n+1 } \sum _{ k=0 }^{ n } { u}_{ k }$ tend vers $\ \frac{a+b}{2}$

Soit f la fonction définie par : f(x) = ln(x) + x
1) Soit un entier naturel non nul, on s'intéresse à l'équation : ln(x) + x = $\ \frac{1}{n}$
Justifier qu'elle admet une unique solution dans l'intervalle ]0, +$\ \infty$[. On note $\ \alpha_n$ cette solution.
2) On s'intéresse à la suite ($\ \alpha_n$) lorsque n d'écrit l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
a) Montrer que la suite ($\ \alpha_n$) est décroissante.
b) Justifier que la suite ($\ \alpha_n$) converge et déterminer sa limite.

Soit un entier n>= 2. On pose : $\ P_n(x) = x+x^2+x^3+...+x^n$
1) Montrer que l'équation $\ P_n$(x)=1 a une unique solution a_n dans [0 ; 1 ]
2) Montrer que la suite ($\ a_n$) converge vers une limite l dans [0 ; 1]
3) Déterminer sa limite

C'est un pays dont la population. reste constante et égale à 10 millions d'habitants.
Chaque année 10% de la population. rurale émigre vers les zones urbaines alors que 5% de la pop. urbaine émigre vers les zones rurales.
Au début de l'étude, (année O) on a 6 millions de ruraux et 4 millions de citadins.
On note Rn la population en millions d'habitants des zones rurales et Un celles des zones urbaines à l'année n.
Prouver que pour tout n, $$\ R_{n+1} = 0.9R_{n} + 0.05U_{n}$$
Et $$\ U_{n+1} = 0.95U_{n} + 0.1R_{n}$$

Soient $\ \left( { a }_{ n } \right) $ et $\ \left( { b }_{ n } \right) $ deux suites
convergentes de limites respectives a et  b Montrer que $\ { s }_{ n }=\frac { 1 }{ n+1 } \sum _{ k=0 }^{ n }{ { a }_{ k }{ b }_{ n-k } } $ converge vers ab. On traitera le cas  a=0

Pour analyser le fonctionnement d'une machine d'atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que :
- sur un mois la machine tombe au plus une fois en panne ;
-si pendant le mois <<m>> la machine n'a pas de panne, la
probabilité qu'elle en ait une le mois suivant <<m+1>> est 0,24 ;
-si la machine tombe en panne le mois <<m>> (ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu'elle tombe en panne le mois suivant <<m+1>> est 0,04 ;
-la probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1.
On désigne par En l'événement : <<la machine tombe en panne le n_ième mois suivant sa mise en service>> ; on note Pn la probabilité de En (on a ainsi P1=0,1).
1)a) Donner les valeurs numériques des probabilités de <<En+1 sachant que En>> et de <<En+1 sachant que $\ \overline { En } $>>.
Exprimer les probabilités de <<En+1 et En>>  et de <<En+1 et En>> en fonction de Pn.
b) utiliser a) pour montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a Pn+1=0,24-0,2Pn.
2)a) Résoudre l'équation p=0,24-0,2p.
b) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose
Un=Pn-p. Calculer Un+1 en fonction de Un ; en déduire la nature de la suite (Un).
c) En déduire les expressions en fonction de n, Un, puis de Pn.
d) Montrer que (Pn) est convergente. Expliciter sa limite.